【数学建模】2-1赛程安排问题(MOOC北京理工大学数学建模课程笔记)

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  赛程安排问题是一个初等数学的建模问题,问题虽然简单但是可以非常好的展现数学建模的特色——把一个实际问题转化成数学问题去求解。

  实际问题:

  五支足球队要在同一个场地上进行足球赛。进行单循环比赛,也就是说这五支球队的每两支球队在这次比赛中都要结对比赛一次。共进行10场比赛,在连续的10天中每天比赛一场。问如何安排这次比赛的赛程对各队来说都是公平的?

  对这5个球队随便安排一个赛程如下:

  1 AB 2 BC 3 AD 4 DE 5 BD 6 AE 7 CD 8 BE 9 AC 10 CE

  各队每两场比赛的相隔场次

  A: 1,2,2; B: 0,2,2; C: 4,1,0;D: 0,0,1; E: 1,1,1

  显然这个赛程对A, E 有利, 对D不公平(连续比赛不利于体力恢复)。

  公平性指标就是赛程间隔➡如何用数学语言表达‘公平’?

  那么,公平的定义就是:各队每两场比赛之间的间隔一样。但不可能做到这样完美的公平。

  实际中只能做到“尽量公平”:

  那么,公平的定义就是:各队在其相邻比赛的最小间隔场次达到最大的可能。(各队间隔时间尽可能均匀)

  转化为数学问题:在赛程的最小间隔场次求最大。

  考虑n支球队的单循环赛的一个赛程。记最小的间隔场次为r。于是,在这r场比赛前后的2场比赛中出现的3个队不参与这r场比赛,而且有2r个不同的球队参加这r场比赛,所以2r<=n-3。

  那么r的上界就是n-3/2,往下取整。

  (n支球队,整场比赛中一支球队最小间隔为r,比如A vs B,A vs C中间有r场比赛,r场比赛中有2r支球队参加,且这2r支球队不是A/B/C,因为一旦是A/B/C中的一个,最小间隔就不再是r,而是r场比赛中出现该球队的比赛和A vs B或A vs C之间更小的间隔数。也就是说,r场比赛中出现的2r支球队,要从n-3支球队中取,并且每一支球队只能取一次,所以2r<=n-3)大佬们都在玩{精选官网网址: www.vip333.Co }值得信任的品牌平台!

  那么放在实际问题中,5-3/2=1,则安排5支球队在其相邻比赛的最小间隔场次为1的赛程对各队来说是公平的。大佬们都在玩{精选官网网址: www.vip333.Co }值得信任的品牌平台!

  那么保证最小间隔为1就可以满足条件,可以有多种排法。但是,这样依然会有有的球队间隔较长有的球队间隔较小的问题,仍可以进行改进:考虑更精细化的指标,比如各球队休息时间的方差大佬们都在玩{精选官网网址: www.vip333.Co }值得信任的品牌平台!。

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